由于息票率高于3%，CTD券一般為久期較長(zhǎng)的可交割券種，目前市場(chǎng)上經(jīng)常充當(dāng)CTD券種的剩余到期期現(xiàn)均在6年以上，而上市的國(guó)債期貨ETF（以511010為例）模仿上證5年期國(guó)債指數(shù)，期現(xiàn)不同的兩種債券如何配比是實(shí)際操作中需要處理的問題。國(guó)債ETF與國(guó)債期貨之間準(zhǔn)確的無套利均衡關(guān)系并不明確，直接運(yùn)用兩者比價(jià)進(jìn)行分析可能會(huì)得出錯(cuò)誤結(jié)論。針對(duì)以上問題，本文利用券種間的久期關(guān)系，在一定假設(shè)下推導(dǎo)出不同期限的國(guó)債ETF與國(guó)債期貨間的準(zhǔn)確均衡等式，并以計(jì)量方法估計(jì)出兩者配比系數(shù)，為該策略的實(shí)施提供了一種思路。

　　無套利均衡推導(dǎo)與轉(zhuǎn)化

　　無套利均衡是金融市場(chǎng)分析的起點(diǎn)，在有效金融市場(chǎng)中只要出現(xiàn)偏離均衡狀態(tài)，眾多金融主體的套利行為就會(huì)使得市場(chǎng)重新回歸。對(duì)于國(guó)債期貨而言，其無套利均衡體現(xiàn)為隱含回購(gòu)利率（IRR）與無風(fēng)險(xiǎn)收益率之間的關(guān)系：

　　(1)

　　上式左側(cè)為IRR，右側(cè)為r無風(fēng)險(xiǎn)收益率，F(xiàn)為期貨凈價(jià)，CF為轉(zhuǎn)化因子，P為現(xiàn)券凈價(jià)，AI為現(xiàn)券應(yīng)計(jì)利息，T為距交割期剩余天數(shù)。

　　國(guó)債期貨隱含回報(bào)率（IRR）體現(xiàn)了在t時(shí)期買入國(guó)債現(xiàn)券、賣出國(guó)債期貨，持有到期后以現(xiàn)券交割，所得到的差價(jià)報(bào)酬的年化收益率。在買賣成本為0的假設(shè)下，若IRR大于購(gòu)買國(guó)債的融資成本r即無風(fēng)險(xiǎn)收益率，則套利機(jī)會(huì)成立，投資者可融資買入國(guó)債、賣出期貨，獲取IRR與無風(fēng)險(xiǎn)收益之間的利差。而大量的套利操作則會(huì)推升國(guó)債價(jià)格，使IRR重新下降到r的水平。

　　為便于操作，對(duì)（1）式兩邊取對(duì)數(shù)，得到

　?。?）

　?。?）式為價(jià)格均衡，表明期貨全價(jià)、現(xiàn)券全價(jià)與時(shí)間趨勢(shì)的一次項(xiàng)之間存在著長(zhǎng)期關(guān)系（右側(cè)R為瞬時(shí)收益率），其與（1）式是完全等價(jià)的，但所蘊(yùn)含的均衡含義有所不同，其表明期貨全價(jià)與現(xiàn)貨全價(jià)的相對(duì)差額，隨著時(shí)間的流逝以無風(fēng)險(xiǎn)收益率為斜率遞減。在實(shí)際操作中，當(dāng)兩者差額超出合理范圍時(shí)就意味著出現(xiàn)了無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。

　　國(guó)內(nèi)現(xiàn)行狀況下，債券多采取場(chǎng)外交易，銀行間市場(chǎng)的諸多限制使得Pt所代表的債券現(xiàn)貨難以入手，造成（5）式套利方法難以實(shí)現(xiàn)，本策略的思想是以相對(duì)容易入手的國(guó)債ETF替代債券現(xiàn)貨。若以下條件成立，ETF可實(shí)現(xiàn)完全復(fù)制：

　　一是利率曲線的移動(dòng)均為平行移動(dòng)。

　　二是忽略債券凸性以及更高階的利率變化對(duì)價(jià)格的影響。

　　三是ETF本身的久期不發(fā)生變化。

　　在以上條件下，假設(shè)國(guó)債ETF久期與現(xiàn)券久期之間存在著穩(wěn)定的比例關(guān)系：

　?。?）式是本套利策略的核心等式，需要指出的是在對(duì)應(yīng)券種確定的情況下（一般情況為可交割券種中久期最長(zhǎng)的債券），（5）式中僅有α（久期比例系數(shù)）與R（瞬時(shí)無風(fēng)險(xiǎn)收益率）是未知的。本文的下半部分將運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，此后可運(yùn)用該無套利均衡式進(jìn)行套利操作。

　　計(jì)量模型的參數(shù)估計(jì)

　　將數(shù)理模型（5）轉(zhuǎn)化為計(jì)量模型以便對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)（添加平穩(wěn)隨機(jī)項(xiàng)εt），可得

　?。?）

　　一般認(rèn)為價(jià)格F與ETF為非平穩(wěn)過程，但（6）式均衡符合Engle―Granger（1986）的協(xié)整均衡的定義（幾個(gè)非平穩(wěn)序列經(jīng)過線性組合后變成平穩(wěn)序列），當(dāng)εt為平穩(wěn)過程時(shí)，對(duì)上式的估計(jì)可采用最小二乘法得到參數(shù)的超一致估計(jì)值。但需要注意的問題是α是一個(gè)非線性參數(shù)，而對(duì)該參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確與否決定了策略的實(shí)際效果，是該策略的一個(gè)技術(shù)要點(diǎn)，目前的計(jì)量理論中存在多種方式對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，如非線性O(shè)LS，貝葉斯方法。

　　本文將（6）式在數(shù)理上進(jìn)行進(jìn)一步處理，目的是實(shí)現(xiàn)關(guān)鍵系數(shù)α的線性化，以用于統(tǒng)計(jì)估計(jì)。調(diào)整后的式子與（6）式存在相似性，但參數(shù)的意義發(fā)生變化：

　?。?）

　　其中D=(T-t)/365，C為常數(shù)項(xiàng)，對(duì)（7）的估計(jì)可采用E―G兩步法或Johansen（1995）的ML方法，應(yīng)當(dāng)注意的是均衡中自然包含有剩余到期日（使用Johansen方法時(shí)，則自然包括時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)t），若以日期序列進(jìn)行估計(jì)其斜率的估計(jì)值乘以365便可得到調(diào)整后收益率R的估計(jì)值。在樣本選取上，采用TF1403的交易周期上的所有樣本，對(duì)應(yīng)ETF的選用511010上證5年國(guó)債ETF，采用簡(jiǎn)單OLS估計(jì)，結(jié)果如圖1所示。

　　對(duì)于估計(jì)結(jié)果需要做兩點(diǎn)解釋：一是各參數(shù)均為顯著，說明均衡式中包括時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)，表明直接對(duì)ETF與國(guó)債期貨進(jìn)行比價(jià)分析時(shí)，其比價(jià)必然會(huì)隨著時(shí)間存在上升或下降的趨勢(shì)，該方法在這里不能直接運(yùn)用。二是α的估計(jì)值大于1，表明國(guó)債期貨所對(duì)應(yīng)的CTD久期大于上證5年國(guó)債所合成的債期久期，符合實(shí)際。

　　策略效果

　　將估計(jì)出的參數(shù)代入（7）式，對(duì)每次調(diào)價(jià)進(jìn)行監(jiān)控，當(dāng)期貨價(jià)格與ETF價(jià)格遠(yuǎn)離均衡式時(shí)，即υt超出一定范圍時(shí)，便可以建立套利頭寸，待差價(jià)回歸以平倉(cāng)獲利。圖2是R軟件提取的υt的1個(gè)月跳價(jià)，若以ETF手續(xù)費(fèi)千分之一測(cè)算，則在0.2以上均為建立頭寸時(shí)機(jī)，而隨著手續(xù)費(fèi)的下降，二者將呈現(xiàn)出可觀的利潤(rùn)空間。

　　總結(jié)

　　國(guó)債期貨與ETF之間的套利思想由來已久，但由于具體的配比關(guān)系與操作方法等技術(shù)問題，使得該策略在實(shí)際運(yùn)用中遭遇困難。本文嘗試從債券的久期角度尋找二者的配比關(guān)系，并采用計(jì)量方法準(zhǔn)確估計(jì)了策略中的無套利均衡關(guān)系，為該策略的實(shí)施提供了理論思路。需要指出的是本文推導(dǎo)的假設(shè)利率曲線只包含平行移動(dòng)，尤其是在5年與7年間曲線不發(fā)生斜率變化，當(dāng)該假設(shè)不滿足時(shí)系數(shù)將會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定。另外，對(duì)于關(guān)鍵參數(shù)α的估計(jì)不僅僅限于參數(shù)方法，半?yún)?shù)方法可能在此問題中更加有效，甚至可運(yùn)用非統(tǒng)計(jì)方法。